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System Dynamics Simulation

Eine Einführung
In diesem Abschnitt werden wir ein Simulationsmodell erstellen, das auf dem Bestands- und Flussdiagramm basiert, das wir im vorherigen Abschnitt über Bestands- und Flussdiagramme entwickelt haben. Zur leichteren Orientierung haben wir das Diagramm hier eingefügt:
Wie im vorherigen Abschnitt erwähnt, ist dieses Bestands- und Flussdiagramm nur eine visuelle Notation für ein mathematisches Modell des Systems, mit dem das Verhalten des Systems mithilfe von Computersoftware simuliert werden kann. In diesen mathematischen Modellen werden Bestände und Flüsse durch Integralgleichungen dargestellt, Konverter werden durch Funktionen ihres Input und/oder der Zeit dargestellt. In den meisten Fällen können diese Integralgleichungen nicht analytisch gelöst werden, sondern werden durch numerische Integration approximiert.
Es gibt viele Techniken zur numerischen Integration, die grundlegendste davon ist die Euler-Integration, benannt nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783): Bei dieser Technik wird nicht versucht, den Zustand des Systems für jeden möglichen Zeitpunkt zu berechnen. Stattdessen wird eine endliche Anzahl von diskreten Zeitschritten definiert und die Grundannahme getroffen, dass die Raten, mit denen sich das System ändert, während dieser Zeitschritte konstant bleiben. Je kleiner der Zeitschritt wird, desto präziser werden unsere Berechnungen. Dieser Ansatz ist in der Wirtschaft besonders sinnvoll, da die in der Wirtschaft verwendeten Buchhaltungssysteme selten mehr als einmal am Tag aktualisiert werden - es ist auch hier wichtig zu bedenken, dass unser Interesse nicht darin besteht, Integralgleichungen präzise zu lösen, sondern Vorhersagen darüber zu treffen, wie sich Ihr Unternehmen verhalten wird: Meist haben die vereinfachenden Annahmen, die Sie bei der Erstellung Ihres Modells über Ihr Unternehmen treffen, weitaus mehr Einfluss auf die Ergebnisse als die Größe des von Ihnen gewählten Zeitschritts.
Auf der Grundlage dieser Annahmen können wir nun eine Simulation auf der Basis des Bestands- und Flussdiagramms erstellen:
  1. System Dynamics Simulationen laufen in simulierter Zeit ab. Die Simulationszeit beginnt zum Zeitpunkt t=0 und läuft dann für eine vordefinierte Zeitspanne. In Business Simulationen ist ein typischer Zeitrahmen 5 Jahre simulierte Zeit, aber Simulationen können kürzer oder länger sein. Dank moderner Computerleistung dauert die Simulation von 5 Jahren Zeit auch bei komplexen Modellen nur wenige Sekunden "Echtzeit".
  2. Wie oben erläutert, werden die zur Durchführung der Simulation erforderlichen Berechnungen in diskreten Zeitschritten durchgeführt - typische Zeitschritte in Wirtschaftssimulationen sind Tage oder Wochen. Dieser Zeitschritt wird als dt bezeichnet.
  3. Die Anfangswerte für alle Bestände und konstante Konverter müssen definiert werden.
  4. Die genauen Beziehungen zwischen einem Konverter und seinen Inputs (d. h. den daran angeschlossenen Konverter) müssen durch mathematische Gleichungen definiert werden.
Die folgenden Absätze geben für jedes der Modellelemente einen Überblick über die Ausgangswerte und Gleichungen für unsere einfache Projektmanagement Simulation:
Offene Aufgaben
Um unser Modell zu konkretisieren, lassen Sie uns annehmen, dass unser Projekt 100 Aufgaben erledigen soll.
Abgeschlossene Aufgaben
Wir gehen davon aus, dass zu Beginn eines Simulationslaufs noch keine Aufgaben abgeschlossen sind.
Aufwand
Dies ist der durchschnittliche geplante Aufwand aller Aufgaben im Projekt. Wir gehen von den folgenden Annahmen aus:
  • Jede Aufgabe erfordert den gleichen durchschnittlichen Aufwand, um erledigt zu werden. Diese Annahme ist für den Zweck dieses Modells in Ordnung. In einem realistischeren Modell könnten wir unterschiedliche Bestände für verschiedene Arten von Aufgaben verwenden und jeder Art von Aufgabe individuelle Aufwände zuweisen.
  • Um die Berechnungen zu vereinfachen, definieren wir diesen durchschnittlichen Aufwand als 1 Tag/Aufgabe.
Fertigstellungsrate
Fertigstellungsrate (t) = Produktivität(t)*Überstunden(t)/Aufwand
Im Idealfall ist die tatsächliche Zeit, die für die Erledigung einer Aufgabe benötigt wird, gleich dem geplanten Aufwand, und dann könnte die Fertigstellungsrate als 1/Aufwand berechnet werden. Aber die Diskussion im Abschnitt über Kausalschleifendiagramme hat gezeigt, dass die Fertigstellungsrate auch von unserer Produktivität (wie viel unserer Zeit wir tatsächlich für die Aufgabe aufwenden) und von Überstunden abhängt.
Zeitplandruck (t)
Zeitplandruck (t) = Offene_Aufgaben(t)*Aufwand/Verbleibende_Zeit
Der Zeitplandruck ist lediglich ein Indikator, der die Zeit, die zur Erledigung der verbleibenden Aufgaben benötigt wird, mit der tatsächlich verfügbaren Zeit vergleicht. Wir kommen also zu der Formulierung: Zeitplandruck = Offene_Aufgaben*Aufwand/Verbleibende_Zeit. Schauen Sie sich das obige Diagramm an - laut Diagramm hat der Aufwand keinen Einfluss auf den Zeitplandruck! Offensichtlich hatten wir zu diesem Zeitpunkt nicht an diesen Zusammenhang gedacht - das ist ganz normal bei der Erstellung von System Dynamics Modellen: Die anfänglichen Kausalschleifendiagramme und Bestands- und Flussdiagramme sind immer ungenauer als die endgültigen Simulationsmodelle, weil unser anfängliches Verständnis der Problemsituation weniger ausgereift ist.
Aktuelles Datum(t)
Aktuelles Datum(t)=t
Das aktuelle Datum ist immer genau gleich der simulierten Zeit.
Frist
Um die Berechnungen zu vereinfachen, setzen wir unsere Frist auf den Wert 100.
Verbleibende Zeit (t)
Verbleibende Zeit (t)=100 - Aktuelles Datum(t) = 100-t
Wir nehmen an, dass der Projekttermin bei 100 Tagen liegt, daher muss die Restzeit gleich 100 minus dem aktuellen Datum sein.
Produktivität
Die Produktivität wird über eine Look-up-Tabelle in Abhängigkeit vom Zeitplandruck berechnet.
Es scheint keine intuitive mathematische Gleichung zu geben, die die Beziehung zwischen Zeitplandruck und Produktivität (bzw. Überstunden) definiert. Das kommt bei der Erstellung von Simulationsmodellen recht häufig vor, vor allem wenn es um die Modellierung von weichen Faktoren wie diesen geht. Die Erfahrung zeigt, dass die meisten Menschen weniger Zeit in Projekte investieren, wenn der Zeitplandruck niedrig ist und Überstunden machen, wenn der Zeitplandruck hoch ist. Der kombinierte Effekt von Zeitplandruck auf Produktivität und Überstunden kann wie in der folgenden Grafik skizziert werden:
Dieser Graph entspricht der folgenden Look-up-Tabelle:
Für jeden gegebenen Zeitplandruck können wir diese Tabelle verwenden, um die entsprechenden Werte für Produktivität und Überstunden zu finden. Wenn der genaue Wert des Zeitplandrucks nicht in der linken Spalte zu finden ist, suchen wir seine nächsten Nachbarn in der Tabelle und berechnen dann die entsprechenden Werte für Produktivität und Überstunden durch lineare Interpolation.
Nachdem wir nun die Anfangswerte und Gleichungen definiert haben, können wir uns daran machen, unser Modell wie folgt zu simulieren:
  1. Zunächst müssen wir sicherstellen, dass alle Elemente in unserem Modell einen definierten Wert zum Zeitpunkt t=0 haben.
  2. Wir berechnen dann den Wert aller Bewegungen zum Zeitpunkt t=0.
  3. Wir können nun den Wert unseres Bestands zum Zeitpunkt t=dt mit der folgenden Formel berechnen: Bestand(dt)=Bestand(0)+ Summe aller Zuflüsse(0)×dt - Summe aller Abflüsse(0)×dt
  4. Diesen Vorgang wiederholen wir nun für jeden Zeitschritt unter Verwendung der allgemeinen Formel: Bestand(t+td)=Bestand(t)+ Summe aller Zuflüsse(t)×dt - Summe aller Abflüsse(t)×dt
Um Sie mit diesem Modell experimentieren zu lassen, haben wir ein interaktives Simulationsmodell hochgeladen. Wir haben auch eine Reihe von Videos erstellt, die erklären, wie wir dieses Modell mit ®iThink 10 gebaut haben:

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